荧飒光学｜探究傅里叶变换红外光谱中FFT窗函数的奥秘

在使用傅里叶变换红外光谱仪采集光谱前，我们通常需要设置一些仪器参数和算法参数。在FFT参数或者高级设置中，有一个不太起眼的选项，叫做“切趾函数”（Apodization）。对于初用傅里叶变换红外光谱仪的小伙伴来说，有点像是天书一般的名词，它到底是什么？它在光谱分析中起到什么作用?在遇到谱图质量不佳时，是否需要调整这个参数？

当我们带着疑惑向工程师咨询时，他们通常会轻飘飘地回复一句，“不用管，选默认的就行，无需修改”。切，无需修改，那为何软件要设计这么多可选的窗函数出来，像三角窗、矩形窗、BlackmanHarris、高斯窗……故作高深？！咱就是不信邪，今天就带大家一起来剖析下这个参数的含义和作用。（下图为荧飒光学光谱采集软件中的参数界面）

其实这都是由傅里叶变换红外光谱仪（FTIR）的原理所决定的。如果是传统色散型光谱仪就永远接触不到这个参数了。想要弄清切趾函数的含义和作用，我们要从傅里叶变换的底层逻辑探究一下，FTIR使用了一个叫做干涉仪的分光部件进行采集得到时域光谱信号。由于干涉仪动镜行程和采集时间有限，得到的都是一定长度的干涉图（有限的数据点，特别是在信号的两端其实是被强行截断了），并不能完整代表整张光谱包含的所有数据信息。动镜行程越短，数据点则越少。要想完整的无偏差转换成我们看得懂的光谱图，就必须得到无限长的干涉图，这两者就矛盾了。由于信号在时域上的截断（即信号不是无限长的）导致频域中引入虚假的频率成分，也就是所谓频谱泄露（spectral leakage）。切趾函数的作用就是通过对干涉图的两端进行平滑衰减到0，减少截断效应，从而降低频谱泄露，使得经过FFT变换后得到光谱图。“切趾”这个词也很形象地表达了对干涉图的处理手段，就像是用一把“刀”将无限长的干涉图“咔咔一通剪”，只保留中间信息量最丰富的区域，而舍弃两端“脚趾”的只能得到一部分有限数据点的干涉图数据。下面我们来列举几种常见的窗函数。

矩形窗函数是最简单的窗函数，它通过一个矩形框保留信号中间信息量最大的部分。把一段无限长的信号切掉两端的信息，只保留中间信息量最大的部分，直接截取信号，不进行加权处理，这个就是矩形窗函数了。这种处理方式也是非常直观的（如下图），用一个矩形框把其中一段信号保留下来，其它的舍去，怎么样，是不是很形象？

那我们再看看经过hamming加窗之后的信号是什么样的呢？简单来说就是将信号幅值按不同的权重进行了修饰处理，尽量保留信号中间部分信息量最大的部分，而抑制两端信号强度。下图即为将原始信号加hamming窗的计算过程。

小伙伴可以通过网上查询不同的窗函数。各类窗函数大同小异，抑制的效果也各有不同， 导致FFT变换后的光谱也就会有不同的旁瓣影响。

慢着慢着，还有一个概念没有解释。那什么又叫“频谱泄露”呀？我们来模拟产生两个信号，Wave1和Wave2是时域中相同的一段正弦波，表达式为y=sin(2πft)，频率f=20Hz。其频率谱就是一个20Hz单频峰。而仔细观察Wave2的时域信号，会发现它是不完整的正弦波，经过FFT变换后，频率图中除了20Hz峰之外，还出现了一定程度的频谱展宽，20Hz峰的强度也有所下降，这就是所谓的频谱泄露(Spectrum Leakage)。同样的信号，经过FFT变换怎么就不一样了呢？从根本上来说，这是傅里叶算法引起的。造成这个问题的根本原因是：采样信号的相位在始端和终端不连续。这时候，就可以通过加窗的方式来减轻频谱泄露，使得wave2的频谱展宽减小，尽量模拟到wave1的频域状态。而除了傅里叶变换红外光谱分析之外，现实生活中的其他领域，比如音频处理，图像处理等，通过加窗对信号进行处理的方法也是普遍应用的。

最后给各位小伙伴总结一下不同窗函数的效果：

• 矩形窗（Boxcar）：频谱泄露最严重，旁瓣较大，甚至有时候可以看到负值。

• 汉宁窗（Hanning）：频谱泄露较少，主瓣宽度适中。

• 海明窗（Hamming）：与汉宁窗类似，但在某些频率上表现更好。

• 布莱克曼窗（BlackmanHarris）：频谱泄露最少，但主瓣宽度较宽，有利于提高信噪比。

还有一点值得注意的是，使用不同的窗函数，会影响到最终光谱图的分辨率和信噪比。所幸针对FTIR，我们分析的绝大部分固体和液体，这些样品的峰宽都足够大，在设置4cm^-1或者8cm^-1分辨率采集时，不同的算法所展现出来效果差异微乎其微，基本不影响分析人员的日常分析工作。这就是工程师们口中常说的“使用默认值即可”，分析人员一般无需更改。其实不同厂家的软件默认窗函数也有所不同，但大多数情况下，一般都会采用比较折中的窗函数，比如hamming窗或者BlackmanHarris窗。如下图，我们使用不同窗函数采集38um聚苯乙烯薄膜红外光谱图（分辨率 4cm^-1），仔细观察3000cm^-1这一段光谱，可以看到当采用不同窗函数，其主瓣峰基本一致，细微差异则是峰高和峰宽，这种差异对一般定性分析来说，其实可以忽略的。

说到这，估计大部分分析工作者能稍微了解这个参数的作用了吧。所以，大部分情况下，我们还真的不太需要修改窗函数这个参数。只有当个别高级用户在分析特殊样品时可能会根据需要进行修改，比如气体的测试。由于气体峰宽很窄，当采用高分辨率采集光谱时，窗函数的选择可能对光谱产生显著影响，这时候就需要仔细甄别了。如下图，CO气体在分辨率0.125cm^-1下，采用不同窗函数下的差异是不是就有点大了？

小结

窗函数在傅里叶变换红外光谱分析中起着重要作用。虽然大多数情况下，使用默认窗函数即可满足分析需求，但在分析特殊样品（如气体）时，选择合适的窗函数可能会对结果产生显著影响。了解不同窗函数的特点和适用场景，可以帮助分析人员更准确地解读光谱数据。